Storia di una storia (parte 2)

[qui la Prima Parte]

Questa settimana parleremo di nuovo di una storia che è un paradosso e che, nelle sue forme, ha attraversato le epoche e ha segnato irrimediabilmente il nostro pensiero. Il primo a formularla fu Zenone di Elea, il cui scopo era difendere e avvalorare il maestro Parmenide, fondatore della sua scuola, in questo caso per quanto riguardava l'impossibilità del movimento. Se infatti il vuoto non esiste (in quanto il non essere non è e non può essere, sostiene Parmenide), allora 1) il cambiamento non esiste; e comunque 2) i corpi non avrebbero dove spostarsi.
Il paradosso di Zenone arriva a noi attraverso la Fisica di Aristotele. Aristotele non ne è entusiasta. Lo liquida con queste parole:

Il secondo argomento di Zenone è quello chiamato di Achille. Un mobile più lento non può essere raggiunto da uno più rapido; giacché quello che segue deve arrivare al punto che occupava quello che è seguito e dove questo non è più (quando il secondo arriva); in tal modo il primo conserva sempre un vantaggio sul secondo.

Per la forma estesa del paradosso (che è di Achille e della Tartaruga) basta rivolgersi a Borges, Altre Inquisizioni:

Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille percorre quei dieci metri, la tartaruga percorre un metro; quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla.

Non so chi per primo interpolò l'immagine della tartaruga nel racconto; so o immagino che Achille venne scelto perché uno dei suoi epiteti è piè veloce, cosa che doveva esasperare il paradosso.
Le soluzioni date al problema sono decine e decine e ne avanzano ancora; alcune francamente idiote, come il fatto che il piede di Achille non è qualcosa di a sua volta divisibile, e quindi se è lungo più di un decimo di millimetro di meno non potrà percorrere (che è quella che detti io al liceo, e che, in mia difesa, non è troppo dissimile nello spirito a quella che diede Bergson, che parlò di mancata sincronizzazione dei passi); altre che sembrano creare nuovi paradossi, come quella che è contenuta ne I Principi della Matematica di Russell, e che qui spiegheremo dicendo che, se è vero che tra 0 e 1 ci sono tanti numeri quanti sono tutti i numeri (e cioè numeri infiniti), allora dobbiamo concludere che a ogni punto (numero) di Achille ne corrisponde uno della tartaruga, e che per forza di cose lui la raggiungerà(!).

Inutile dire che il paradosso di Achille ha prodotto una teoria infinita di elaborazioni (letterarie oltreché filosofiche): da quella di Platone nel Parmenide, che anticipa e discute l'argomento del terzo uomo contro le Idee con cui cercherà di confutarlo Aristotele*, al racconto del Reverendo Dodgson (quel Lewis Carroll che scriverà le avventure di una bambina che si chiama Alice), Quello che la tartaruga disse ad Achille, che invece si diverte a dimostrare l'impredicabilità di ogni ragionamento, perché per collegare due premesse a una conclusione dovremmo aggiungere un'altra premessa, e cioè che dalle premesse valide segua logicamente la conclusione valida; e poi una quarta, che dalle due premesse più la precisazione valide segua la conclusione valida, e poi una quinta, e così via. Questi esercizi appartengono più alla filosofia della scienza e all'epistemologia che non alla narrativa, quindi eviterò di discuterli.

Charles L. Dodgson (Lewis Carroll)

Zenone ci propone altri paradossi. La tradizione - se non mi sbaglio - gliene attribuisce una quarantina, ma a noi ne sono giunti pochi. Quello della freccia (una freccia scagliata contro un bersaglio non lo raggiungerà mai, perché in ogni istante, se sospendessimo il tempo, essa sarà immobile - occuperebbe solo lo spazio della propria lunghezza -, e allora dove sta il movimento?), quello della dicotomia e qualche altro. Aristotele riporta il secondo (che poi, storicamente, è il primo), lapidariamente:

[...] l'oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale.

Di nuovo, ci affideremo a Borges per un'elaborazione più piacevolmente leggibile del paradosso**:

Un mobile che sta in A (afferma Aristotele) non potrà raggiungere il punto B, perché prima dovrà percorrere la metà della strada che è tra i due punti, e prima la metà della metà, e prima la metà della metà della metà, e così all'infinito.

Questo paradosso è più elegante, per quello che posso giudicare, di quello di Achille e della Tartaruga. Uso parole da logico o da matematico quando dico che la semplicità è una forma dell'eleganza: in questo paradosso è solo uno il corpo in movimento, non due; inoltre il mobile in A e il traguardo in B possono essere ridotti a oggetti puntiformi; ed essendo il punto, per definizione, privo di dimensioni, risolve alcune delle difficoltà, perlomeno figurative, del più noto Achille.
Possiamo provare a risolverlo come abbiamo provato a fare con quello di Achille. Notiamo, come Cantor e prima di lui altri, che tra 0 e 1 ci sono numeri infiniti, tanti cioè quanti sono tutti i numeri; che insomma il finito è infinitamente divisibile, e che un'infinita divisibilità non comporta un tempo infinito né un aumento delle grandezze da contare.
Le prossime righe si concentreranno sull'evoluzione letteraria di quest'ultimo paradosso.

Nel 1919 Franz Kafka dette alle stampe una raccolta di racconti intitolata Il Medico di Campagna. Tra questi racconti, alcune sono evidentemente drammatizzazioni del paradosso di Zenone. Il più famoso è forse Il messaggio imperiale (ambientato in estremo oriente, forse in Giappone, considerata la simbologia solare; o forse in Cina, considerato che una delle fonti di Kafka fu Il Milione di Marco Polo; e anzi sicuramente in Cina, dato che il racconto ritorna, invariato, in Durante la costruzione della muraglia cinese; e che influenzò Borges per la stesura di un altro racconto paradossale), ma il più bello è, io credo, Il villaggio vicino. Così suona:

Mio nonno soleva dire: "La vita è straordinariamente breve. Ora mi si contrae a tal punto, nel ricordo, che non riesco a comprendere come, per esempio, un giovane possa decidersi a cavalcare fino al villaggio più vicino senza temere che - a parte ogni disgrazia - la durata di una vita normale, che trascorra serenamente, possa non essere affatto sufficiente a compiere un simile tragitto".

Il messaggio imperiale, invece, è quest'altro:

L'imperatore - così si dice - ha inviato a te, al singolo, all'umilissimo suddito, alla minuscola ombra sperduta nel più remoto cantuccio di fronte al sole imperiale, proprio a te l'imperatore ha mandato un messaggio dal suo letto di morte. Ha fatto inginocchiare il messaggero accanto al letto e gli ha bisbigliato il messaggio nell'orecchio; tanto gli stavi a cuore che s'era fatto ripetere, sempre all'orecchio, il messaggio. Con un cenno del capo ne ha confermato l'esattezza. E dinanzi a tutti coloro che erano accorsi per assistere al suo trapasso: tutte le pareti che ingombrano sono abbattute e sulle scalinate che si ergono in larghezza e in altezza stanno in cerchio i grandi dell'impero; dinanzi a tutti questi ha congedato il messaggero. Il messaggero s'è messo subito in cammino; un uomo robusto, instancabile; stendendo a volte un braccio, a volte l'altro fende la moltitudine; se incontra resistenza indica il petto dove c'è il segno del sole; egli avanza facilmente come nessun altro. Ma la moltitudine è enorme; le sue abitazioni non finiscono mai. Come volerebbe se potesse arrivare in aperta campagna e presto udresti il meraviglioso bussare dei suoi pugni al tuo uscio. Invece si affatica quasi senza scopo; si dibatte ancora lungo gli appartamenti del palazzo interno; non li supererà mai, e se anche ci riuscisse nulla sarebbe ancora raggiunto; dovrebbe lottare per scendere le scale, e se anche ci riuscisse nulla sarebbe ancora raggiunto; bisognerebbe attraversare i cortili, e dopo i cortili il secondo palazzo che racchiude il primo; altre scale, altri cortili; e un altro palazzo; e così via per i millenni; e se riuscisse infine a sbucare fuori dal portone più esterno - si troverebbe ancora davanti la capitale, il centro del mondo, ricoperta di tutti i suoi rifiuti. Nessuno può uscirne fuori e tanto meno col messaggio di un morto. Tu, però, stai alla tua finestra e lo sogni, quando scende la sera.

I paradossi dovevano essere adatti alla mente di Kafka, per via del loro particolare carattere mostruoso; e Kafka ha felicemente provveduto a esplorarne le possibilità d'incubo. Se posso dirlo, i suoi racconti ci fanno pensare a quei particolari sogni in cui corriamo, corriamo, e cerchiamo qualcosa; ma non riusciamo mai a trovarla.

Il 1942 è il turno di Dino Buzzati di dare alle stampe una raccolta di racconti, I sette messaggeri. Il primo di questi racconti dà il nome a tutta la raccolta. Il tema è il paradosso di Zenone; ma mi pare di trovarci anche il particolare sapore di Kafka. Non dimentichiamo che Buzzati conosceva Kafka, e che ne era stato influenzato come è impossibile dire in questa sede.
Ci limiteremo stavolta a riportare alcuni estratti del racconto, che altrimenti sarebbe troppo lungo per i limiti di un blog:

Partito ad esplorare il regno di mio padre, di giorno in giorno vado allontanandomi dalla città e le notizie che mi giungono si fanno sempre più rare.

Ho cominciato il viaggio poco più che trentanne e più di otto anni sono passati, esattamente otto anni, sei mesi e quindici giorni di ininterrotto cammino. Credevo, alla partenza, che in poche settimane avrei facilmente raggiunto i confini del regno, invece ho continuato ad incontrare sempre nuove genti e paesi; e dovunque uomini che parlavano la mia stessa lingua, che dicevano di essere sudditi miei.

Penso talora che la bussola del mio geografo sia impazzita e che, credendo di procedere sempre verso il meridione, noi in realtà siamo forse andati girando su noi stessi, senza mai aumentare la distanza che ci separa dalla capitale; questo potrebbe spiegare il motivo per cui ancora non siamo giunti all'estrema frontiera.

Ma più sovente mi tormenta il dubbio che questo confine non esista, che il regno si estenda senza limite alcuno e che, per quanto io avanzi, mai potrò arrivare alla fine.

Mi misi in viaggio che avevo già più di trent'anni, troppo tardi forse. Gli amici, i familiari stessi, deridevano il mio progetto come inutile dispendio degli anni migliori della vita. Pochi in realtà dei miei fedeli acconsentirono a partire.

Sebbene spensierato - ben più di quanto sia ora! - mi preoccupai di poter comunicare, durante il viaggio, con i miei cari, e fra i cavalieri della scorta scelsi i sette migliori, che mi servissero da messaggeri.

[...] Avanti, avanti! Vagabondi incontrati per le pianure mi dicevano che i confini non erano lontani. Io incitavo i miei uomini a non posare, spegnevo gli accenti scoraggianti che si facevano sulle loro labbra. Erano già passati quattro anni dalla mia partenza; che lunga fatica. La capitale, la mia casa, mio padre, si erano fatti stranamente remoti, quasi non ci credevo. Ben venti mesi di silenzio e di solitudine intercorrevano ora fra le successive comparse dei messaggeri. Mi portavano curiose lettere ingiallite dal tempo, e in esse trovavo nomi dimenticati, modi di dire a me insoliti, sentimenti che non riuscivo a capire. Il mattino successivo, dopo una sola notte di riposo, mentre noi ci rimettevamo in cammino, il messo partiva nella direzione opposta, recando alla città le lettere che da parecchio tempo io avevo apprestate.

Ma otto anni e mezzo sono trascorsi. Stasera cenavo da solo nella mia tenda quando è entrato Domenico***, che riusciva ancora a sorridere benché stravolto dalla fatica. Da quasi sette anni non lo rivedevo. Per tutto questo periodo lunghissimo egli non aveva fatto che correre, attraverso praterie, boschi e deserti, cambiando chissà quante volte cavalcatura, per portarmi quel pacco di buste che finora non ho avuto voglia di aprire. Egli è già andato a dormire e ripartirà domani stesso all'alba.

Ripartirà per l'ultima volta. Sul taccuino ho calcolato che, se tutto andrà bene, io continuando il mio cammino come ho fatto finora e lui il suo, non potrò rivedere Domenico che fra trentaquattro anni.

[...] Non esiste, io sospetto, frontiera, almeno nel senso che noi siamo abituati a pensare. Non ci sono muraglie di separazione, né valli divisorie, né montagne che chiudano il passo. Probabilmente varcherò il limite senza accorgermene neppure, e continuerò ad andare avanti, ignaro [...]

Si veda come, dall'ambientazione ai personaggi, I sette messaggeri si configuri come un'elaborata variazione de Il messaggio imperiale.

Arrivati alla sua fine, vi confesso che questa lunga e faticosa serie per me ha un valore, come quell'altra lunga e faticosa serie, perché quattro anni fa mi ha offerto l'occasione per scrivere a mia volta un racconto, che fosse una continuazione di questi. Cosa sia successo quattro anni fa perché sia in qualche modo il centro dei miei pensieri non so dirlo; ma in questi articoli è così. Il racconto si intitola L'incidente di Zenone e, se fino ad ora tutti i precedenti si concentravano sull'impossibilità di muoversi nello spazio, questo tratta della simmetrica impossibilità di muoversi nel tempo****. Eccolo:

Mentre la macchina esce di carreggiata e il muro si avvicina al parabrezza a una velocità che è quasi di 97 km/h, mi sorprendo a pensare a dove io abbia commesso un errore.
La divinazione non è la credenza che le stelle influenzino il nostro destino; piuttosto quella che, quando Dio creò il mondo, lo sincronizzò in modo tale che il cielo prefigurasse la terra, o che la terra prefigurasse il cielo, e che ogni simbolo e minima variazione dell'uno corrispondessero a un cambiamento nell'altro. Avrei potuto indovinare questa giornata dai segni in fondo al tè, o altrettanto facilmente dal volo degli uccelli... ma ero di fretta, e il cielo stamane era coperto.
(Ricordo Laio e Acrisio e mi appunto mentalmente che la risposta dell'oracolo è sempre morte. Questo forse acquieterà i miei rimpianti.)
La macchina punta, in una traiettoria che ormai mi è impossibile evitare, contro una parete di sassi e calce a una velocità che è 12 volte inferiore a quella del suono. Immagino il rumore lancinante che produrrà l'accartocciarsi delle lamiere e della barriera che infine cede, e poi l'acre aroma della carne bruciata; e so che in quell'attimo morrò. Niente può salvarmi.
A meno che... a meno che. Dove la magia e la tecnica falliscono, forse riuscirà la logica. Devo tenere a mente che, secondo Crowley, la magia non è che una malattia del linguaggio; così come, secondo Wittgenstein, lo è la filosofia. Guardo il muro di fronte a me: ormai non disterà più di un metro. Io so che, per completare questo metro, prima dovrò percorrerne la metà: vale a dire che, prima di aver percorso un metro, dovrò avere percorso 50 centimetri. Una volta convintomi di questo, il passo seguente è più facile: per percorrere 50 centimetri, prima, dovrei percorrerne 25; e prima 12,5; e prima ancora 6,25. E così via, scomponendo sempre della metà, prima di percorrere la metà della metà della metà della metà dovrei percorrerne la metà: l'operazione è ricorsiva perché il punto, che è il fondamento della retta, è privo di dimensioni.
Dilatando le distanze a una somma infinita di mezzi, riesco a dilatare anche il tempo di percorrenza, e per percorrere un numero infinito di punti ho bisogno di una quantità infinita di tempo.
All'improvviso la corsa della macchina si arresta, e io con lei. Sono bloccato, e con me il mondo, cristallizzato in questo attimo che non potrà mai cessare, perché prima dovrebbe passarne la metà, e prima ancora la metà della metà e così via; ma finché terrò questo a mente, sarò immortale.

...

Calvino, nel racconto Ti con zero (1967), sfrutta il paradosso della freccia per dedurne l'immortalità dell'arciere, e poi per indagare la natura e il valore del tempo e dello spazio. Questo mio racconto lo riassume, lo semplifica, e lo varia quel tanto che basta per poter dire che è mio. 

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* Se l'Idea Iperuranica di Uomo è la somma di tutte le caratteristiche più rilevanti e comuni tra gli uomini, tali per cui noi li chiamiamo per l'appunto uomini, allora esso dovrà essere a sua volta un uomo. Ma allora dovrà esistere un terzo uomo che è partecipa delle caratteristiche comuni tra l'Uomo e gli uomini, e via così con un quarto uomo, e poi un quinto, e poi...
** I testi che abbiamo di Aristotele sono quelli tecnici, o esoterici; i suoi dialoghi, che nell'antichità sono state le uniche testimonianze del suo genio, per quanto ne so, sono andati tutti perduti. Sorte opposta a quella toccata al suo maestro Platone, di cui abbiamo conservato solo i dialoghi, o opere essoteriche. Per questo, se posso azzardarmi, leggere Platone è infinitamente più piacevole che leggere Aristotele.
*** I sette messaggeri hanno nomi che iniziano con le prime sette lettere dell'alfabeto latino: Alessandro, Bartolomeo, Caio, Domenico, Ettore, Federico, Gregorio. Il gioco geometrico è qui evidentissimo.
**** Anni dopo ho scoperto che William James, nel 1911, trattò lo stesso argomento sfruttando lo stesso paradosso.